Segmentation morphologique dans quelques espaces discrets
Jean Cousty (ESIEE-LIGM)
De nombreuses méthodes de segmentation morphologique consistent à appliquer un filtre connexe à une image et à extraire une ligne de partage des eaux (LPE) de l'image filtrée. En faisant croître le paramètre du filtre connexe, on peut espérer obtenir une hiérarchie de segmentations.
Les graphes à sommets pondérés constituent un cadre générique pour ce schéma. Cependant, il est montré dans l'exposé que certaines propriétés de fusion de régions, fondamentales à l'application d'une telle méthode, ne sont pas vérifiées dans cette structure. Elles le sont en revanche dans une sous-classe de graphes, appelés graphes de fusion parfaits. Nous présentons un théorème établissant qu'il existe un unique graphe de fusion parfait entre les relations de 4- et 8-adjacence et leurs généralisations à Zn.
Les graphes d'arêtes, pondérées ou non, forment un sous-ensemble intéressant des graphes de fusion parfaits. Dans ce cadre, nous montrons que la définition de coupure par LPE est équivalente à la solution d'un problème d'optimisation combinatoire : l'extraction de forêt couvrante de poids minimum relative aux minima. Nous évoquons également des liens avec les coupures minimales et les marcheurs aléatoires, habituellement définis par minimisation d'énergie.
Les résultats présentés dans les graphes à arêtes pondérées s'étendent aux complexes simpliciaux ou cubiques topologiquement plus riches. Dans ce cadre de travail, nous présentons un résultat d'équivalence liant la LPE à l'opération de collapse (un analogue discret d'une déformation antiextensive continue). De plus, la dimension d'une LPE définie dans une pseudovariété de dimension n est toujours égale à n-1. Ainsi, la structure de complexe est adaptée à la construction et à la représentation de segmentations hiérarchiques.
Références
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